Cho \(\Delta ABC\) có 3 đường trung tuyến \(m_a,m_b,m_c\). Chứng minh: \(a^2=S_{\Delta ABC}.\cot\widehat{A}\) biết \(m_a^2=m^2_b+m^2_c\)
Những câu hỏi liên quan
Cho \(\Delta ABC\) có 3 cạnh a = 3, b = 5, c = 6. Từ A,B,C kẻ 3 đường trung tuyến ứng với BC,AC,AB. Gọi độ dài 3 đường trung tuyến đó là \(m_a,m_b,m_c\). Tính \(S=m^2_a+m^2_b+m^2_c\)
\(\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\\m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\\m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\end{matrix}\right.\)=>\(m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{4}\left(3^2+5^2+6^2\right)=\frac{105}{2}\)
Gọi \(m_a,m_b,m_c\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC
a) Tính \(m_a\), biết rằng \(a=26,b=18,c=16\)
b) Chứng minh rằng : \(4\left(m^2_a+m^2_b+m^2_c\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là \(m_a,m_b,m_c\).Đặt \(t=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\)
CMR: \(S_{ABC}=\frac{3}{4}\sqrt{t\left(t-m_a\right)\left(t-m_b\right)\left(t-m_c\right)}\)
Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc và R là độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(3\left(m_a+m_b+m_c\right)R_m\ge2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\)
Cho tam giác ABC. Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua A, B, C, m = \(\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\) Chứng minh rằng: SABC = \(\frac{3}{4}\) \(\sqrt{m\left(m-m_a\right)\left(m-m_b\right)\left(m-m_c\right)}\)
Cho tam giác ABC có bàn kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 và:
\(\dfrac{\sin A}{m_a}+\dfrac{\sin B}{m_b}+\dfrac{\sin C}{m_c}=\sqrt{3}\)
với \(m_a,m_b,m_c\)là độ dài đường trung tuyến tương ứng kẻ từ A,B,C.CMR:tam giác ABC đều
Cho Δ ABC nhọn, I là giao 3 đường phân giác, r là khoảng cách từ I đến 3 cạnh của tam giác. Kí hiệu ha, hb, hc là độ dài 3 đường cao. ma,mb,mc là độ dài 3 đường trung tuyến. Gọi O là giao 3 đường trung trực Δ ABC. OA = R. Chứng minh \(\frac{m_a}{h_a}+\frac{m_b}{h_b}+\frac{m_c}{h_c}\) ≤ 1 + \(\frac{R}{r}\)
Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
Khi đó ma, ha là các đường tương ứng với a.
Gọi A' là trung điểm của BC. Các điểm B', C' được xđ tương tự
Ta có: \(\sum\frac{m_a}{h_a}=\frac{\sum m_aa}{2S}\le\frac{\sum\left(R+OA'\right)a}{2S}=\frac{\sum Ra+2S}{2S}=\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}+1\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{R}{r}\ge\frac{R\left(a+b+c\right)}{2S}\)
\(\Leftrightarrow2S\ge\left(a+b+c\right)r\)
Lại có: \(r=\frac{2S}{a+b+c}\)
Do đó điều trên luôn đúng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ABC là tg đều
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tam giác ABC có AC=b, AB=c, BC=a; ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A,B,C. Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{m_a}+\frac{b}{m_b}+\frac{c}{m_c}=2\sqrt{3}\) thì tam giác ABC đều.
a, Cho tam giác ABC nhọn. CMR:\(h_a+h_b+h_c\ge9r\) với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b, CM
\(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}+\dfrac{1}{m_c}\ge\dfrac{2}{R}\)
( \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trug tuyến ứng với cạnh a,b,c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)